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II. Elementarlehre. 
stattfindet. Ein kontinuierlicher Übergang zwischen Minus¬ 
sinn und Plussinn ist also nur durch eine begriffliche Neu¬ 
schöpfung möglich, die aber kraft der Kontinuität des 
Denkens unabweislich gefordert ist. Es vollzieht doch die 
Wendung vom Grundsinn zum Gegensinn und umgekehrt, 
und beschreibt diesen Übergang kontinuierlich, gleichsam 
als Drehung, die sich auch als kontinuierliche Winkel¬ 
änderung auffassen läßt. In der Tat ist mit der Relation 
der Relationen Plus und Minus der Begriff des Winkels 
(einer Größe der Verschiedenheit der Beziehungsart) der 
Sache nach schon gesetzt. Also gibt es für das Denken 
das Kontinuum der Richtungen ebenso wie das Kontinuum 
der Werte; und da die Zahl das Moment der Richtung 
von Haus aus einschließt, so fordert diese neue Kontinuität 
einen gesetzmäßigen Ausdruck auch in der Zahl. Dieser 
ergibt sich, nach der Konsequenz der Zeichensprache der 
Arithmetbik , mit Notwendigkeit so, daß das Minus nicht 
nur in ganze, sondern ebensowohl in gebrochene Potenz 
erhoben werden kann; d. h. es ergibt sich die sogenannte 
Imaginärzahl, in einfachster Gestalt (—l)l/» oder V—1, 
die als neue Einheit i in Verbindung mit der ursprüng¬ 
lichen Einheit die „komplexe Zahl“ (a-f-fo, wo a und b 
gewöhnliche Zahlen, zur Einheit 1, sind) und damit die 
„Zahlebene“ begründet. 
Der natürliche Anstoß an der Einführung der konti¬ 
nuierlichen Richtungsänderung in die Zahl liegt darin, daß 
mit der Mehrheit der Richtungen zugleich eine Mehrheit 
von Dimensionen eingeführt wird, welche der Zahl an sich 
fremd, vom Raum erst künstlich auf sie übertragen erscheint. 
Wohl aus diesem letzten Grunde hat die Mathematik sich 
Jahrhunderte hindurch gesträubt, das „Imaginäre“ als recht¬ 
mäßigen arithmetischen Begriff anzuerkennen, obgleich man 
es als „Fiktion“ zuzulassen gar nicht umhin konnte, wenn 
nicht die folgerechte Durchführung der arithmetischen Grund¬ 
operationen unterbleiben sollte. Nun genügt, um den An¬ 
stoß zu heben, noch nicht die an sich richtige Bemerkung 
(Hamilton’s), daß alle Erweiterungen der Zahl auf der 
Einführung verschiedener, aber verknüpfter Zählungen 
(Zählungen mit verschiedenen Einheiten) beruhen. Das 
trifft zuerst auf die relative Zahl zu, in deren multiplikativer 
Entwicklung in der Tat die ursprünglich einzige Dimension