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II. Elementarlehre.
das Mehr und Weniger (-f- und —) ist, so ist der zutreffende
Ausdruck dieser Uberordnung die Erweiterung des Begriffs
des Mehr und Weniger, nach welcher es nicht notwendig
durch eine geschlossene Gleichung bestimmt sein muß, sondern
es genügt, wenn es durch ein System von Ungleichungen
so nahe, als man will, bestimmbar ist.
Durch diese Betrachtung ist nun die Stetigkeit
der Zahl, und erst durch diese die Einführung der Irra¬
tionalzahl gerechtfertigt. Dagegen läßt sich nicht etwa
umgekehrt durch die Irrationalzahl die Stetigkeit einführen.
Denn 1. durch die ins Unendliche verringerbare Differenz
ist nicht ein Wert als einziger bestimmt, sondern nur ins
Unendliche eindeutig bestimmbar; worin aber die Voraus¬
setzung der Stetigkeit schon liegt; 2. es gibt keine er¬
schöpfende Definition der Allheit der möglichen „Schnitte“.
Überhaupt könute die Stetigkeit nicht gegeben werden
durch die noch so umfassende Definition der möglichen
Diskretionen. Denn ein diskreter Wert ist es nur dadurch,
daß er gegen alle anderen eine von Null verschiedene
Differenz hat; zwischen irgendwelchen zwei diskreten
Setzungen bleibt also jederzeit ein Intervall. Kontinuität
besagt gerade Unerschöpfbarkeit des Verfahrens der Setzung
durch irgendwelche diskrete Setzungen.
Ebensowenig kann die Stetigkeit etwa durch Be¬
rufung auf die Anschauung eingeführt werden. Anschauung
kann nicht dem Denken Begriffe geben; das „Gegebene“
der Anschauung kann nur gedacht werden durch solche
Begriffe, welche das Denken ans eigenen Mitteln zustande
bringt. Durch die Anschauung der Geraden (auch als er¬
zeugt durch Bewegung eines Punktes) ist die Allheit der
Zwischenpunkte nicht irgendwie anders gegeben, als rein
arithmetisch etwa durch die Grenzwerte die Zwischenwerte
gegeben sind. Sie ist vielmehr allein gegeben durch den
Begriff des Zwischen oder durch das Merkmal der Richtung,
welches beides aber ebenso und fundamentaler im reinen
Begriff der Zahl begründet ist. Die „Bewegung“ des
Punktes (der doch gerade die unwandelbare Bestimmtheit
vertreten soll) symbolisiert nur die Denkbewegung, die
ebenso (und gleichfalls fundamentaler) an der Zahl sich
darstellt.