Full text: Logik

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II. Elementarlehre. 
Eben hierin liegt daher auch der entscheidende logische 
Grund für die beiden Hauptanwendungen, welche die Ma¬ 
thematik vom Begriff des Unendlichen macht: auf die Be¬ 
gründung der Irrationalzahl (§ 26) und auf die der Me¬ 
thode des Infinitesimalen (§ 27). Beide Probleme vereinigen 
sich in dem Probleme der Stetigkeit der Zahl. 
§ 26. Stetigkeit und Irrationalzahl. 
Auf Grund des unbeschränkten, aber dabei streng 
gesetzmäßigen Fortbestandes der Relationen der Zahl kann 
unter bestimmten Bedingungen ein Ausdruck, der eine Un¬ 
endlichkeit einschließt, wie eine systematisch gebildete, 
konvergente Reihe, als ebenso bestimmt gelten wie ein 
endlicher Zahlausdruck, auch wenn der dadurch angezeigte 
Wert innerhalb der Reihe der rationalen Zahlen nicht 
existiert. Zwar wird diese Bestimmtheit nicht dadurch be¬ 
wiesen, daß der gesuchte Wert sich zwischen zwei Gruppen 
rationaler Werte (A und ß) so einschließen läßt, daß jede 
Zahl der einen diesseits jeder der andern Gruppe liegt 
und die Differenz der beiderseitigen Zahlen (b—a) kleiner 
gemacht werden kann als jede angebbare Zahl. Denn 
eben, daß das Intervall (b—a) ins Unendliche verringert 
werden kann, schließt ein, daß ein Intervall immer bleibt; 
durch ein Intervall wird aber nicht ein Wert als einziger 
bestimmt. Wohl aber ist, auf Grund eines solchen Beweises, 
der gesuchte Wert 1. mit keinem anderen, rationalen oder 
irrationalen Wert vertauschbar, und es kann 2. von jedem 
anderen Wert ausgemacht werden, ob er diesseits oder 
jenseits des gesuchten Wertes liegt. Und auf Grund dieses 
Verhalts kann gesagt werden, daß der gedachte, außer 
der rationalen Reihe liegende Wert zu dieser eine bestimmte 
Beziehung habe, die als eine Beziehung des Mehr und 
Weniger definiert werden kann durch eine Erweiterung 
dieser Begriffe, wonach das Mehr oder Weniger nicht not¬ 
wendig durch eine geschlossene Gleichung bestimmt sein 
muß, sondern es genügt, wenn es durch ein System von 
Ungleichungen so nahe, als man will, bestimmbar ist. Ist 
diese Bedingung erfüllt, und ist zugleich der Ausdruck in 
sich vom ersten Glied an ins Unendliche eindeutig bestimmt, 
so kann gesagt werden, daß der fragliche Wert, obgleich
	        

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