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II. Elementarlehre.
besagt demgemäß: von der Eins einer ersten Zählung aus,
als neuer (relativer) Null, in einer neuen Zählung Eins
gezählt, und, vom Anfang der ersten Zählung, also von ihrer
Null aus, Zwei gezählt, gilt gleichviel. Es ist logisch keines¬
wegs dasselbe, aber es sind gleichwertige, mithin vertausch¬
bare Zählweisen. Schon diese erste Zahlgleichung, und so
alle andern, besagen Substitutionen nicht von Identischem,
aber von Äquivalentem.
2. Subtraktion. Auf Grund der eben angestellten
Betrachtung wird das Stellverhältnis zweier beliebiger
Zahlen ausdrüekbar durch seine Äquivalenz mit dem Ver¬
hältnis irgendeiner Zahl zu Null. Dies ist das arithmetisch
genannte Verhältnis, zu dessen Ausdruck das Zeichen —
dient; wir nennen es das Stellverhältnis. Es entspricht
der zweiten Quantitätsstufe. 1 —(— 1 = 2 besagt nach obiger
Erklärung: man kommt von Eins auf Zwei durch Eins¬
zählen, nämlich von der Eins als relativer Null aus, also
auf gleiche Weise wie von Null auf Eins. Dies gleiche
Verhältnis der Zwei zur Eins wie der Eins zur Null drückt
sich direkt aus in der Gleichung
2 —1 = 1—0 (2),
welche also denselben Sachverhalt nur anders wiedergiebt
wie die Gleichung (1). Es entspricht demnach einer arith-
methischen Proportion eine Additionsgleichung aus den
Summen der innern und äußern Glieder.
3. Die Subtraktion für den Fall, daß „der Subtrahend
größer als der Minuend“ ist, ergibt sich nach dieser Be¬
trachtungsweise unmittelbar aus der Erwägung, daß ein
Verhältnis seinem Begriff nach gegenseitig, mithin im Aus¬
druck umkehrbar ist. Der gleiche Sachverhalt also, den
die Gleichungen (1) und (2) ausdrücken, läßt sich auch
aussprechen in der Gleichung
1 — 2 = 0—1 (3);
sogar ist dies der direkteste Ausdruck dafür, daß man von
Eins auf Zwei in derselben Weise gelangt wie von Null
auf Eins. Man definiert nun: 1 — 0 = —)— 1 (was der
oben gegebenen Erklärung dieses Ausdrucks entspricht),
0—1 = — 1 (indem Null als Vergleichungspunkt, wenn
nicht anders bestimmt, vorausgesetzt wird), so hat man
