Logik

Natorp, Paul

Bibliographic data

Monograph

Persistent identifier:: 1658652975

URN:: urn:nbn:de:bsz:291-sulbdigital-314325

Title:: Logik

Sub title:: (Grundlegung und logischer Aufbau der Mathematik und mathematischen Naturwissenschaft); in Leitsätzen zu akademischen Vorlesungen

Author:: Natorp, Paul

Place of publication:: Marburg

Publisher:: Saarländische Universitäts- und Landesbibliothek

Document type:: Monograph

Collection:: philosophy

Year of publication:: 1910

Copyright:: Saarländische Universitäts- und Landesbibliothek

Language:: ger

Digitised pages:: 76

Chapter

Title:: II. Elementarlehre

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Digitised pages:: 59

Chapter

Title:: B. Synthetischer Teil. Der logische Aufbau der reinen Wissenschaft

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Digitised pages:: 40

Chapter

Title:: I. Mathematik

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Digitised pages:: 16

34 II. Elementarlehre. besagt demgemäß: von der Eins einer ersten Zählung aus, als neuer (relativer) Null, in einer neuen Zählung Eins gezählt, und, vom Anfang der ersten Zählung, also von ihrer Null aus, Zwei gezählt, gilt gleichviel. Es ist logisch keines¬ wegs dasselbe, aber es sind gleichwertige, mithin vertausch¬ bare Zählweisen. Schon diese erste Zahlgleichung, und so alle andern, besagen Substitutionen nicht von Identischem, aber von Äquivalentem. 2. Subtraktion. Auf Grund der eben angestellten Betrachtung wird das Stellverhältnis zweier beliebiger Zahlen ausdrüekbar durch seine Äquivalenz mit dem Ver¬ hältnis irgendeiner Zahl zu Null. Dies ist das arithmetisch genannte Verhältnis, zu dessen Ausdruck das Zeichen — dient; wir nennen es das Stellverhältnis. Es entspricht der zweiten Quantitätsstufe. 1 —(— 1 = 2 besagt nach obiger Erklärung: man kommt von Eins auf Zwei durch Eins¬ zählen, nämlich von der Eins als relativer Null aus, also auf gleiche Weise wie von Null auf Eins. Dies gleiche Verhältnis der Zwei zur Eins wie der Eins zur Null drückt sich direkt aus in der Gleichung 2 —1 = 1—0 (2), welche also denselben Sachverhalt nur anders wiedergiebt wie die Gleichung (1). Es entspricht demnach einer arith- methischen Proportion eine Additionsgleichung aus den Summen der innern und äußern Glieder. 3. Die Subtraktion für den Fall, daß „der Subtrahend größer als der Minuend“ ist, ergibt sich nach dieser Be¬ trachtungsweise unmittelbar aus der Erwägung, daß ein Verhältnis seinem Begriff nach gegenseitig, mithin im Aus¬ druck umkehrbar ist. Der gleiche Sachverhalt also, den die Gleichungen (1) und (2) ausdrücken, läßt sich auch aussprechen in der Gleichung 1 — 2 = 0—1 (3); sogar ist dies der direkteste Ausdruck dafür, daß man von Eins auf Zwei in derselben Weise gelangt wie von Null auf Eins. Man definiert nun: 1 — 0 = —)— 1 (was der oben gegebenen Erklärung dieses Ausdrucks entspricht), 0—1 = — 1 (indem Null als Vergleichungspunkt, wenn nicht anders bestimmt, vorausgesetzt wird), so hat man

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