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II. Elementarlehre. 
Aus dieser Konstruktion folgen die charakteristischen 
„Axiome“ des Euklidischen Raumes: 1. Zwei Gerade haben 
nicht mehr als einen Punkt gemein; 2. Zwei von einer ge¬ 
gebenen gleich und gleichsinnig verschiedene Richtungen 
in der Ebene sind einander gleich, bilden also miteinander 
keinen Winkel. Jede Konstruktion in dem gedachten Raum 
ist von jedem Punkt aus unter Wahrung aller metrischen 
und Richtungsbeziehungen, auch zu beliebigem Maßstab 
ausführbar, weil im durchaus homogenen Raum jede Distanz 
jede muß vertreten können. Eine endliche Raumkonstante 
(Krümmungsmaß verschieden von Null) ist ausgeschlossen, 
denn wenn durch jedes Paar von Punkten gleicherweise 
eine Gerade nach Richtung und Länge bestimmt ist, so 
ist irgendein absolutes Maß der Länge, eine kleinste 
oder größte oder sonstwie ausgezeichnete Entfernug aus¬ 
geschlossen. 
§ 33. Die „nichteuklidische Geometrie.“ 
Das durch viele Jahrhunderte fortgesetzte vergebliche 
Bemühen, den euklidischen Parallelensatz, der nicht, wie 
die übrigen Grundvoraussetzungen der klassischen Geometrie, 
unmittelbare Evidenz zu besitzen schien, aus diesen übrigen 
Voraussetzungen zu beweisen, führte endlich auf den Ver¬ 
such, ob vielleicht eine Geometrie mit Absehung vom 
Parallelensatze ohne Widerspruch möglich sei; es ergab 
sich, daß nicht bloß eine, sondern mehrere solche „nicht- 
euklidische“ Geometrien möglich und eines gleich syste¬ 
matischen Ausbaus fähig sind wie die euklidische. In 
dieser Entdeckung wurde nun vielfach eine Widerlegung 
der Kantischen Behauptung des euklidischen Raumes als 
durch „reine Anschauung“ gegeben, und ein Beweis des 
nur empirischen Charakters der euklidischen (im Unter¬ 
schied von einer anderen) Geometrie gegeben. 
Indessen hat zunächst Kant gar nicht eine absolute 
Denknotwendigkeit des euklidischen Raumes behauptet, 
sondern vielmehr eben daraus, daß er keine absolute Denk¬ 
notwendigkeit, und dennoch eine unabweisliche Voraus¬ 
setzung unserer mathematischen Wissenschaft sei, ge¬ 
schlossen, daß ihm eine andere, eigene Art von Notwendigkeit, 
eben die einer „reinen Anschauung“ zukomme. Daß aber