Volltext: Logik

B. Synthetischer Teil. I. Mathematik. 45 
der Zahl dem Begriff nach bereits überschritten wird, und 
die denn auch in folgerechter Weiterbildung zum Imaginären 
zwingend hinführt. Der radikale Grund der Einführung 
des Dimensionsbegriffs in die Zahl liegt aber darin, daß 
schon mit den Vorzeichen nicht nur zwei Beziehungsarten, 
sondern zugleich eine Beziehung dieser Beziehungsarten 
gesetzt ist. Nicht bloß Wertbeträge haben eine und zwar 
doppelseitige Lagebeziehung, sondern diese Lagebeziehungen 
haben auch gegeneinander eine Lagebeziehung. Damit ist 
bereits die Positionsbetrachtung zur zweiten Dimension er¬ 
hoben. Die Potenz, als Potenz der Lagebeziehung, ist 
schon die Dimension. Die Einzigkeit der Urreihe behält 
dabei ihre strenge Notwendigkeit, nämlich als Vergleichs¬ 
grundlage für jede über die ursprüngliche Reihe hinaus¬ 
gehende Zahlsetzung. Hie wird dadurch zur Nullreihe, im 
Sinne des festen Ausgangs für alle möglichen Positions¬ 
beziehungen. Eben als solche war sie streng eindeutig zu 
definieren und alle Mannigfaltigkeit von Richtungen von 
ihr auszuschließen, gerade damit eine solche sich auf ihr 
aufbauen könne. Die „gerade“ Reihe wird so zur Reihe 
vom Winkel Null; die gerade reelle (positiv-negative) Zahl¬ 
reihe stellt den gestreckten Winkel als Winkel 1 (die 
Fundamentaländerung der Beziehungsrichtung) dar; der 
Übergang vom Plus- zum Minussinn oder umgekehrt definiert 
sich damit als Richtungsänderung vom Betrage 1; so ent¬ 
spricht dann die halbe Potenz (— '/*) der Halbierung des 
gestreckten Winkels, also der Normale, die beliebig ge¬ 
brochene Potenz der beliebigen Winkelteilung von 0 bis 1. 
Auch ein Fortgang zu weiteren Dimensionen, wie er durch 
H. Graßmanns „Ansdehnungslehre“ der Sache nach voll¬ 
zogen ist, ist damit prinzipiell begründet ; womit das System 
der Zahlen sich in umfassendster Weite und zugleich strenger 
logischer Einheit vollendet. 
Die letzte Bedeutung der Einführung der Begriffe 
Richtung und Dimension in die Zahl (die in der „kom¬ 
plexen Zahl“ enthalten ist) besteht aber darin, daß dadurch 
die Kluft zwischen Zahl und Raum, zwischen Arithmetik 
und Geometrie, die durch die Einführung der Stetigkeit 
in die Zahl schon sehr verengt war, vollends ausgefüllt, 
der Übergang zum streng stetigen wird; nicht indem die 
Zahl irgendetwas aus der „Anschauung“ des Raumes zu
	        

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